Határérték – bevezetés

Ha x balról és jobbról tart egy kijelölt ponthoz, akkor y milyen értékhez közlít?

A kijelölt x pontot csak tetszőlegesen, „végtelenül kis mértékben” közelítjük meg, de soha nem érjük el, vagyis konvergálunk x ponthoz.

Trigonometrukus függvények esetében x értékét mindig radiánban adjuk meg!

---

Nevezetes (alap) határértékek

🔹 Trigonometrikus alap határértékek

🔹 Exponenciális és logaritmikus alap határértékek

🔹 Számelméleti jellegű nevezetes határértékek

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0\)

Itt a reciprokérték függvény általánosan felírt alakja, amennyiben \(x \to \infty\)

$$
\displaystyle
\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{x^n}
=
\begin{cases}
0, & 0 < a < 1, \\[2mm] \infty, & a > 1
\end{cases}
$$

Megjegyzés: ha \(a=1\) és \(n=1\), akkor az reciprokérték függvény általános alakjába beillesztve ezeket az értékéket, ezt kapjuk:

\(f(x)=\frac{1^x}{x^1}\) – mivel \(1\) bármelyik hatványa \(1\), és bármelyik \(x\) első hatványa \(x\) ezért a függvényt egyszerűbb alakra hozva így írható fel \(f(x)=\frac{1}{x}\)

---

Mikor nincs határértéke egy függvénynek?

Általános értelemben azt az értéket nevezzük határértéknek, amelyik mindkét oldalról közelítve határértéke a függvénynek. De vannak olyan függvények, melyeknek a határértéke mást mutat balról, és mást mutat jobbról közelítve. Ilyen például egy abszolútérték hányadosát meghatározó függvény.

Nincs általános értelemben vett határértéke például ennek a függvénynek

Egy példa arra, amikor adott ponthoz tartva nem létezik „kétoldali” határérték, mert a bal- és jobboldali határértékek különböznek. Fontos következtetés, hogy a függvény \(x=0\) pontban nem folytonos!

$$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$$

A nevezőben lévő \(x\) értéke, \(x=0\) pontban szakadást mutat. Ezért nincs \(x \to 0\) hatérték (ami mindkét oldalról határérték). Viszont vizsgálható balról és jobbról közelítve.

• ha \(x > 0\), akkor \(\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}=1\)
• ha \(x < 0\), akkor \(\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}=-1\)

Egyébként az is megfigyelhető, hogy a függvény képe mindkét oldalon egy-egy vízszintes vonal, hiszen mindkét esetben ugyanazt az \(|x|\)-et osztjuk, csak az \(y\) tengely baloldalán negatív-, a jobboldalán pozitív \(x\)-szel.
Ezt az értékkészletet így szokás felírni:

$$
f(x)= \frac{|x|}{x} =
\begin{cases}
1, & x>0,\\
-1, & x<0, \end{cases} (x\neq0) $$

A függvény képe:

Határérték számítási módszerek

1. Egyszerű behelyettesítés

Ez a módszer csak akkor működik, ha

• nem lesz \(0\) a nevezőben;
• nem kapunk végtelen osztva végtelennel (\(\frac{\infty}{\infty}\)) vagy \(\frac{0}{0}\) osztást;
• a vizsgált pontban a függvénynek folytonosnak kell lennie, ahhoz, hogy a behelyettesítéses módszert alkalmazhassuk. (A függvény folytonosságának vizsgálatáról kicsit lejebb még olvashatsz, de feljebb egy kicsit pont bemutattam egy \(x=0\) pontban nem folytonos függvényt.)

Fontos, hogy minden esetben először meg kell vizsgálni, hogy van-e olyan \(x\) érték, ahol a függvény nincs értelmezve.

Például: \(\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\) ebben az esetben, ha az \(x\) helyére behelyettesítjük a \(0\) értéket, akkor a kiderül, hogy a függvény ott nincs értelmezve. A függvény képét ha megvizsgáljuk, akkor \(x=0\)-nál látható, hogy ebben a pontban nincs \(y\) érték.

Folytonosságvizsgálat

Íme néhány gyakorlat, mellyel vizsálhatjuk azt, hogy a függvény folytonos-e abban a pontban, melyhez közeledve a határértékét számoljuk. Ha valamelyik feltétel nem igaz, akkor már biztos, hogy nem lehet a behelyettesítéses módszerrel kiszámolni a határértékét.

🔎 Ellenőrző lista folytonossághoz egy \(a\) pontban:

$$\lim_{x \to a} = f(x)$$

a) Definiálva van ott a függvény?

• Nézd meg: \(f(a)\) létezik?
  (Ha nincs értelmezve ott, már nem folytonos.)

b) Létezik-e a határérték, mely egyenlő akkor is ha balról, akkor is ha jobbról közelíted?

• Ezt leginkább a függvény képéből látod. De ha mondjuk 3-3 értékkel kiszámolod az \(a\) környezetében az \(f(x)\) értékét, akkor lehet látni, hogy mi fog történni, ha eléri \(x\) az \(a\) értéket.
  Például: \(\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\)
  Tudjuk, hogy \(x=0\) pontban nincs értelmezve a függvény, ami már eleve kizárja a behelyettesítő módszerrel történő megoldást, de azért a példa kedvéért számoljunk!
  Nézzük jobbról (\(x \to 0^+\)): \(f(3)=1; f(2)=1; f(1)=1; f(0)=\emptyset\)
  Nézzük balról: (\(x \to 0^-\)): \(f(-3)=-1; f(-2)=-1; f(-1)=-1; f(0)=\emptyset\)
  Ebből látszik, hogy balról közelítve \(-1\), jobbról közlítve \(1\) a határérték, tehát a két oldalról közelítve nem egyenlő.

c) Egyezik a határérték a függvény értékével?

• Ez egy „nem középiskolás” eset, de nagyon gyakoran előfordulhat az úgynevezett „szakaszosan definiált függvény” (piecewise function) esetében.
  Ezek olyan függvények, melyek több szakaszra vonatkozó szabályokat tartalmazhatnak, és a következő formában adjuk meg:

$$
\displaystyle
f(x)
\begin{cases}
\frac{x^2-1}{x-1}, & x \neq 1 \\[2mm]
7, & x = 1
\end{cases}
$$

Vegyük ezt a függvényt és számítsuk ki a határárértékét, ha \(x \to 1\):

$$
\displaystyle
(x \neq 1) \\[3mm]
\lim_{x \to 1}
\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1 \\[5mm]
\Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1}(x-1)=0
$$

Tehát ha \(x \to 1\), akkor a határértéke \(0\), viszont \(f(1) = 7 \) a függvény definíciója szerint.

Így ez egy olyan függvény, ahol a határtérték nem egyenlő a függvény értékével a megadott pontban, vagyis ez a függvény nem folytonos a vizsgált pontban, tehát nem lehet a határértékét behelyettesítéses módszerrel kiszámolni.
Megjegyzés: A levezetés akár a behelyettesítéses módszerrel történhetet volna, mivel a nevező \(2\) lett volna.

Feladatok:

2. Algebrai átalakítással megoldható számítás